图形位置与运动知识（与位置x有关的运动学图像）

图形位置与运动知识（与位置x有关的运动学图像）7.面积没有实际意义.6.渐近线表示收尾速度.3.表达式对时间的导数表示速度.4.交点表示相遇(同一时间在同一个位置).5.纵轴截距表示起点(计时点位置).

一、x-t图

位置-时间图，如果出发点在原点，那就是位移-时间图.

1.只能表示直线运动(因为只有正负两个方向)，不是轨迹图像，轨迹图像是xoy图.

2.切线斜率表示表示瞬时速度，斜率的正负表示方向；割线斜率表示平均速度.

3.表达式对时间的导数表示速度.

4.交点表示相遇(同一时间在同一个位置).

5.纵轴截距表示起点(计时点位置).

6.渐近线表示收尾速度.

7.面积没有实际意义.

8.x-t图若为抛物线，则一定是匀变速直线运动(二次函数导数为一次函数，一次函数导数为常数即为加速度).

例题：甲、乙两辆汽车在同一平直的公路上行驶，在t＝0到t＝t₂时间内，它们的x-t图像如图所示.

在这段时间内（CD）.

A.汽车甲做加速运动，汽车乙做减速运动

B.汽车甲的位移大小大于汽车乙的位移大小

C.汽车甲的运动方向与汽车乙的运动方向相反

D.在t₁时刻，汽车甲追上汽车乙

例题：球A以初速度vA＝40m/s从地面上一点竖直向上抛出，经过一段时间△t后又以初速度vB＝30m/s将球B从同一点竖直向上抛出（忽略空气阻力），取g＝10m/s²，为了使两球能在空中相遇，△t取值范围正确的是（C）

A.3s＜△t＜4s

B.0＜△t＜6s

C.2s＜△t＜8s

D.0＜△t＜8s

例题：某做直线运动的质点的位移一时间图像（抛物线）如图所示，P（2s，12m）为图线上的一点。PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q（0，4）。已知t＝0时质点的速度大小为8m/s，则下列说法正确的是（A）

A.质点做匀减速直线运动

B.2s时，质点的速度大小为6m/s

C.质点的加速度大小为0.5m/s²

D.0～1s内，质点的位移大小为4m

例题：在平直公路上行驶的a车和b车，其位移一时间图象分别为图中直线a和曲线b，已知b车加速度恒定且a＝-2m/s²，t＝3s时直线a和曲线b刚好相切，则下列说法正确的是（BC）

A.t＝3s时b车的速度v＝8/3m/s

B.t＝0s时b车的速度v₀＝8m/s

C.t＝0s时a车和b车的距离s₀＝9m

D.t＝2s时a车和b车的距离s₁＝2m

例题：2019年7月12日～7月28日，世界游泳锦标赛在韩国光州举行，中国队共收获16枚金牌、11枚银牌和3枚铜牌，位列奖牌榜榜首。甲、乙两名运动员在长为25m的泳池里训练，甲的速率为v＝1.25m/s，乙的位置一时间图像如图所示。若不计转向的时间，两人的运动均可视为质点的直线运动，则（）

A.乙的速率为v₂＝1.0m/s

B.若两人同时从泳池的两端出发，经过1min共相遇了3次

C.若两人同时从泳池的同一端出发，经过6min共相遇了16次

D.两人一定不会在泳池的两端相遇

二、x/t-t图像

平均速度-时间图，表示0-t内的平均速度和时间的关系.

1.只能表示直线运动.

2.处理方法有两种

①写出解析式：x/t=0.5t 0.5

②猜想是匀变速直线运动，匀变速直线运动公式为x=v₀t at²/2，x/t=v₀ at/2，斜率为a/2，截距为初速度v₀.

3.横、纵坐标乘积表示0-t内位移(是状态面积而不是过程面积).

4.斜率表示a/2，截距表示初速度v₀.

例题：一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其图像如图所示，则（C）

A.质点做匀速直线运动，速度为1m/s

B.质点做匀加速直线运动，加速度为0.5m/s²

C.质点在1s末速度为1.5m/s

D.质点在第1s内的位移为2m

例题：某汽车在平直公路上匀速行驶，因特殊情况需刹车，其刹车过程的x/t-t图像如图所示，下列说法正确的是（AC）

A.汽车刹车过程做的是匀减速直线运动

B.汽车从开始刹车，经5.0s停下来

C.汽车匀速行驶时的速度为10m/s

D.汽车刹车过程的加速度大小为2.0m/s²

例题：如图甲为测量重力加速度的实验装置，C为数字毫秒表，A、B为两个相同的光电门，C可以测量铁球两次挡光之间的时间间隔。开始时铁球处于A门的上边缘，当断开电磁铁的开关由静止释放铁球时，A门开始计时，落到B门时停止计时，毫秒表显示时间为铁球通过A、B两个光电门的时间间隔t，测量A、B间的距离x。现将光电门B缓慢移动到不同位置，测得多组x、t数值，画出x/t随t变化的图线为直线，如图乙所示，直线的斜率为k，则由图线可知，当地重力加速度大小为g＝2k；若某次测得小球经过A、B门的时间间隔为t₀，则可知铁球经过B门时的速度大小为2kt₀此时两光电门间的距离为kt₀².

三、v²-x图

与匀变速直线运动速度位移公式进行对比，v²-v₀²=2ax.

在一小段位移△x内，物体视为匀变速直线运动，加速度a不变，则v′²-v²=2a△x，△(v²)=2a△x.

1.斜率表示2a.

2.截距表示v₀².

例题：如图所示是某物体做直线运动的v²-x图象（其中v为速

度，x为位置坐标），下列关于物体从x＝0处运动至x₀处的过程分析，其中正确的是（BC）

A.该物体做匀加速直线运动

B.该物体的加速度大小为v₀²/2x₀

C.该物体在位移中点的速度大于v₀/2

D.该物体在运动中间时刻的速度大于v₀/2

例题：在平直公路上有甲、乙两辆汽车同时从同一位置沿着同一方向做匀加速直线运动，它们速度的平方随位移变化的图象如图所示，

则（AB）

A.甲车的加速度比乙车的加速度大

B.在x＝0.5m处甲、乙两车的速度相等

C.在x＝0.5m处甲、乙两车相遇

D.在x＝1.0m处甲、乙两车相遇

例题：近年来，我国的高速铁路网建设取得巨大成就，高铁技术正走出国门.在一次高铁技术测试中，机车由静止开始做直线运动.测试段内机车速度的二次方v²与对应位移x的关系图象如图所示.在该测试段内，下列说法正确的是（BC）

A.机车的加速度越来越大

B.机车的加速度越来越小

C.机车的平均速度大于v₀/2

D.机车的平均速度小于v₀/2

例题：物块在1N合外力作用下沿x轴做匀变速直线运动，图示为其位置坐标和速率的二次方的关系图线，则关于该物块有关物理量大小的判断正确的（D）

A.质量为1kg

B.初速度为2m/s

C.初动量为2kg·m/s

D.加速度为0.5m/s²

例题：如图甲所示，物块的质量m＝1kg，初速度v₀＝10m/s，在一水平向左的恒力F作用下从O点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻后恒力F突然反向，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示，

取g＝10m/s².下列选项中正确的是（BD）

A.2～3s内物块做匀减速运动

B.在t＝1s时刻，恒力F反向

C.恒力F大小为10N

D.物块与水平面间的动摩擦因数为0.3

四、v-x图

在匀变速直线运动中，

x=(v²-v₀²)/2a，得到x-v图像是一条抛物线，如图，

将x对v求导得到斜率，斜率k=△x/△v=v/a，a=v/k，把x-v图像旋转90°再水平翻转就得到v-x图像.

斜率k′=△v/△x=a/v或者斜率k′=△v/△x=(△v/△t)·(△t/△x)=a/v.

得a=kv.

如果物体做匀速直线运动，v-x是水平开口的抛物线，反之也成立.

例题：一带负电粒子仅在电场力的作用下，从x轴的原点O由静止开始沿x轴正方向运动，其运动速度v随位置x的变化关系如图所示，图中曲线是顶点为O的抛物线，粒子的质量和电荷量大小分别为m和q，则下列说法正确的是（AC）

【解析】图中曲线是抛物线，则曲线表达式为x=x₁v²/v₁²，粒子只在电场力作用下运动，由动能定理得，Fx=½mv²，F=mv²/2x=mv₁²/2x₁（常数）.

例题：小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是（A）

例题：真空中，在x轴上的原点处和x＝6a处分别固定一个点电荷M、N，在x＝2a处由静止释放一个正点电荷P，假设试探电荷P只受电场力作用沿x轴方向运动，得到试探电荷P的速度与其在x轴上的位置关系，如图所示，则下列说法正确的是（D）

A.点电荷M、N一定都是负电荷

B.试探电荷P的电势能一定是先增大后减小

C.点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为2：1

D.x＝4a处的电场强度一定为零

例题：如图甲所示，两个点电荷Q₁、Q₂固定在x轴上，其中Q₁位于原点O，a、b是它们连线延长线上的两点。现有一带正电的粒子q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动（粒子只受电场力作用），设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，其速度随坐标x变化的图象如图乙所示，则以下判断正确的是（）

A.b点的场强一定为零

B.Q₂带负电且电荷量小于Q₁

C.a点的电势比b点的电势高

D.粒子在a点的电势能比在b点的电势能小

五、1/v-x图

1/v-x图像与横轴所围成的面积有明确的物理意义：取一小段位移△x，当作匀速直线运动，则，1/v·△x=△t.

1/v-x图像与横轴所围成的面积表示物体发生这段位移所用的时间.

例题：老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d₁的甲处时速度为v₁，试求：

①老鼠行进到离洞穴距离为d₂的乙处时速度多大.

②从甲处到乙处要用去多少时间.

☞第二问常见错误解答如下

☞第二问正确解答如下图

☞需要指出的是

建立d-1/v图是错误的，因为微元面积d△(1/v)【不是d(1/△v)】没有意义，虽然单位也是时间.

同一个运动，建立不同坐标系，上面两个图，结果就完全不同.

例题：新冠疫情让2020届高三学生少了很多在校学习的时间，返校后为节约时间，小尧同学都是跑步去食堂吃饭。跑步过程中的1/v-x图象如图所示，为一条不过坐标原点的直线，假定从小尧的教室门口到食堂的道路为一水平直线道路，以教室门口为坐标原点，教室到食堂方向为x轴正方向，下列说法正确的是（A）

某科学小组研制了一种探测器，其速度大小可随运动情况进行调节。如图所示，在某次实验中，该探测器从原点O一直沿s轴正向移动，且其速度大小与位移大小成反比。已知探测器在A、B两点的速度分别为4m/s和2m/s，O点到B点的位移为2m，则探测器从A点运动到B点的时间为（）

A.3s/8

B.1s/8

C.3s/4

D.1s/4

六、a-x图

假设一小段内是匀变速直线运动（a不变），根据运动学公式：v²-v₀²=2ax，该小段内的面积为a·△x.由v²-v₀²=2ax得△(v²)-v₀²=2a·△x，则a·△x=½△(v²).

a-x图像与横轴所围成的面积表示对应位移内速度平方变化量的一半.

或者改成ma-x图，即F-x图，形状样式是没有变化的.

F-x图的面积表示合力的功.

a-x图像与横轴所围成的面积表示对应位移内合力做的功与质量的商.

例题：一质点做直线运动，加速度与位置坐标关系如下图所示，即：a=a₀-ks，已知质点在x=0处速度v₀求质点运动到x=x₀处时的速度v.

例题：放在水平面上的物体，在水平力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图像如图所示。下列说法错误的是（BCD）

A选项：0-x₁，合力做功为ma₀x₁，根据动能定理得：

ma₀x₁=½mv₁²，可得v₁.

七、xi-t图像

例题：利用打点计时器研究小车做变速直线运动的实验，得到如图甲所示的一条纸带，在纸带上共取了A、B、C、D、E、F、G七个计数点，相邻的两个计数点之间还有四个点未画出，从每一个计数点处将纸带剪开分成六条（分别叫a、b、c、d、e、f），将这六条纸带由短到长紧靠但不重叠地粘在xOy坐标系中，得到如图乙所示的直放图，最后将各纸带上端中心连起来，于是得到表示v一t关系的图像.已知打点计时器的工作频率为50Hz.为表示v一t关系，图中x轴对应的物理量是时间t，y轴对应的物理量是速度v.

（1）若纸条c的长度为6.0cm，则图中t₃为0.25s，v₃是纸条c段的平均速度，v₃＝0.60m/s.（保留两位有效数字）

（2）若测得a段纸带的长度为2.0cm，f段纸带长度为12.0cm，则可求出加速度的大小为2.0m/s².（结果保留两位有效数字）