宇宙形状猜想：庞加莱猜想 拓扑学上的一颗明珠

宇宙形状猜想：庞加莱猜想 拓扑学上的一颗明珠想象一下，你缩小到一个小点的大小，坐在一个甜甜圈的表面上。看看你的周围，你好像坐在一个扁平的圆盘上。降低一个维度，你坐在一条曲线上，附近的一段就像一条直线。如果你置身于一个三维流形上（四维空间），你的周围看起来就像一个球的内部。关于流形的概念，作家西尔维亚·纳萨尔在她的《美丽心灵》一书中提供了一个很好的描述：在数学中，这三个物体（圆、球、三维球面）是密切相关的，被称为一维球、二维球和三维球。n维球是一维球在任意维空间中的推广。在拓扑学中，n维球被视为n维流形，这些流形是在每个点附近局部类似欧几里德（平坦）空间的拓扑空间。更准确地说应该是：流行的定义：n维流形的每个点都有一个同胚的邻域与维数为n的欧几里得空间。（在拓扑学中，同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构。）

让我们从简单的开始。我们知道地球的形状，它近似一个球形；银河系是棒螺旋形的，也就是带旋臂的圆盘形状；那可观测宇宙呢？是球形吗？看起来确实如此，因为它正在向外扩张。那么在我们可以观测到的范围之外的整个宇宙呢？

答案是，我们不知道，但我们可以猜想。它可能是有限的或无限的，有边界或没有边界，有曲率或没有曲率。我们所知道的是，它似乎在扩张。但扩张到哪里？我们不知道。但是我们可以推测一下。

介绍

宇宙过去的形状，现在的形状，以及将来可能的形状，我们很难凭经验来辨别。爱因斯坦在某种程度上帮助了我们，他向我们展示了物质和能量实际上可能与四维——时间——相互作用。在这种相互作用中，时空可能因质量（能量）的存在而发生扭曲。就我们所知，我们生活在一个四维宇宙中，这个宇宙易受变形的影响，比如拉伸、扭曲和弯曲。这就是拓扑学发明的由来。

让我们来看看最基本的。我们都知道，平面上的圆是二维圆盘的一维周长（嵌在二维空间中的一维等价物是一条直线）。增加一个维度，我们也能直观地知道，一个三维球的二维表面叫做球面（嵌在三维空间中的二维等价物是一个面）。然而，再增加一个维度，我们的直觉已经完全失效了。嵌在四维空间中的物体的三维等价物是什么？在四维欧几里得空间中，四维球的三维边界在数学上被称为三维球面（ glome）。我们无法在大脑中形成三维球面的直观印象。

在数学中，这三个物体（圆、球、三维球面）是密切相关的，被称为一维球、二维球和三维球。n维球是一维球在任意维空间中的推广。在拓扑学中，n维球被视为n维流形，这些流形是在每个点附近局部类似欧几里德（平坦）空间的拓扑空间。更准确地说应该是：

流行的定义：

n维流形的每个点都有一个同胚的邻域与维数为n的欧几里得空间。（在拓扑学中，同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构。）

关于流形的概念，作家西尔维亚·纳萨尔在她的《美丽心灵》一书中提供了一个很好的描述：

想象一下，你缩小到一个小点的大小，坐在一个甜甜圈的表面上。看看你的周围，你好像坐在一个扁平的圆盘上。降低一个维度，你坐在一条曲线上，附近的一段就像一条直线。如果你置身于一个三维流形上（四维空间），你的周围看起来就像一个球的内部。

拓扑之前（1752 - 1895）

约翰·斯蒂威尔在他的著作《论拓扑》中声称，在亨利庞加莱之前，只有一个拓扑概念被定义。这一概念是由欧拉多面体公式V - E F = χ给出的著名欧拉数（χ），其中V代表顶点，E代表边，F代表面。球面和凸多面体的欧拉数都是2，如柏拉图固体。1863年，在对这种表面的拓扑分类的研究中，莫比乌斯指出，R³中的所有闭合曲面，即可定向曲面，都是根据其欧拉数进行分类的。

• 欧拉数为0（χ = 0）的两个著名的不可定向曲面。左图，著名的莫比乌斯带。右图，克莱因瓶，以数学家费利克斯·克莱因的名字命名。

高斯以及黎曼等人也对拓补学的发展做出了一定的贡献，但直到贝蒂在研究任意维度的概念方面取得了实质性进展，拓补学 才逐渐发展成一门独立的、系统的学科。

贝蒂定义了后来被称为贝蒂数的数字P₀，P₁，P₂…。在代数拓扑中，第k个贝蒂数是指拓补表面上k维孔的数量，或者用另一种说法，“在不把一个表面分成两部分的情况下所能切割的最大次数”。对于0维，1维和2维的单纯复形（指由点、线段、三角形等单纯形“粘合”而得的拓扑对象），贝蒂数的定义如下：

• P₀是连通分量的数目（0维洞的数量）
• P₁是圆形孔的数量
• P₂ 是指二维“孔洞”的数量

例如，一个环面有一个相连的表面分量，所以 P₀ = 1；两个“圆”孔（一个赤道孔和一个子午孔），所以P₁ = 2；还有一个封闭在表面内的空腔，所以 P₂ = 1。

拓补学中还有一个重要的概念叫“亏格”，非正式地说，是一维孔的数量，它等于欧拉数χ。正如约翰·米尔诺在克雷数学研究所千年奖庞加莱猜想的官方声明中所写：

二维流形或曲面的拓扑学在19世纪就得到了很好的理解…任何这样的曲面都有一个明确的亏格g≥0，可以直观地描述为孔的数量。

米尔诺用亏格0、1和2的三个图形的简单草图来介绍流形和拓扑结构。