数学本质教学例谈（数学教学的发散和统一）

数学本质教学例谈（数学教学的发散和统一）梯形面积公式为:前n项和公式为:好了下面我们就以等差数列作例子进行知识发散讲解。（声明一下，本文不是针对学生，而是针对教育者，讲解时并不是为了教授读者数学知识，所以在讲述数学知识点时假设读者已经掌握了所有数学知识点。）我们学习等差数列时的公式有:通项公式为：

数学教学的发散和统一

前几天孩子在家里学网校科的时候，我刚好听电脑里要求孩子记等差数列的公式。这网校课给我印象比较深的特点就是1.讲题刷题，2.背口诀记公式。 给我感觉这是他们的主旋律。我也一直有在自己教孩子，我给孩子讲授知识点时一个知识点可能是会讲比较久，尽量从多维度来讲解，让孩子明白其本质。题要做，公式也要记，但是在此之前首先要做的是让孩子明白所学知识的本质，这样孩子就会比别人更容易记住所学的知识，学习事半功倍。这样在同样的时间和学习强度下，孩子学到的内容会比别人多很多。

那么如何做到让孩子理解所学知识的本质？这里我就要切入我这次要说的主题：数学教学的发散和统一。 这里我以我个人的理解来说一下发散与统一的目的: 发散是为了掌握不同知识点的关联，统一是为了掌握所学知识点的本质。发散的目的是为了统一，统一的前提是发散。

当我听到网课要求孩子背等差数列求和公式时，我过去跟孩子说：“你看这个公式，是不是跟梯形面积的计算公式一样？把数列的第一个数当成梯形的上底，数列最后一个数当成梯形的下底，数列的长度当成梯形的高。”孩子思索了一会，然后一副惊奇的表情：“是哦！”然后我趁机给他进行知识点的发散，问：“那你知道为什么他们的公式是一样的吗？”

好了下面我们就以等差数列作例子进行知识发散讲解。（声明一下，本文不是针对学生，而是针对教育者，讲解时并不是为了教授读者数学知识，所以在讲述数学知识点时假设读者已经掌握了所有数学知识点。）

我们学习等差数列时的公式有:

通项公式为：

前n项和公式为:

梯形面积公式为:

可以看到，多项式求和公式2 和梯形面积公式形式上是一样的。接下来我们要引导孩子思考：为什么他们的公式一样？

虽然孩子是小学生，学习的是小学内容，但我们大人不是小学生，不能以小学生的眼界来教育，我们可以站在更高的高度来教育。这里我们要从大学里学到的微积分的视角来理解问题。

如果我们把梯形从头到脚如图按照

所以最后矩形的面积实际上就是这些矩形的长度的值的和。

还有个问题就是，这些矩形的长度都是等差的吗？这个我们用三角函数的知识很容易就能知道他们都是等差的，就不细说了。

实际上如果我们用定积分推导梯形的面积，找到h和a c的关系函数f(h)，然后对f(h)进行0到h的积分，

但是，以上不过是我们大人的内心世界，我在给孩子讲解时会用更容易理解的方法， 比如跟孩子说：“如果我们把等差数列的每一个数字当成是长度等于这个数字的细棍子。那么我们依次把这些小棍子在桌面依次整齐排好，他们的形状是不是就是一个梯形？”实际上我会以多种浅显的角度来跟孩子讲解。

这里我们还可以继续延伸，我们可以让孩子想一下梯形面积公式的推导过程。如图：把两个一样的梯形相互倒置贴在一起上下对齐，这就成了底为a c 高为h的平行四边形，

那么对于等差数列，我们用同样的办法，把另一个相同的等差数列和原来的等差数列头尾依次相加。如图，得出来的就是n*(a1 an)，那么再取一半就是等差数列的和。最后:

当然，我给孩子讲解的时候，画的图比这个更简单易懂。直接两排数字相加，每一项和都是一样。主要是启蒙引导讲解。

那么我们的知识发散到这里就结束了吗？并没有。我还可以把知识扩展到他所学过的三角形的面积计算。

少了个参数c。如图: 三角形只有下底a 没有和梯形一样的上底c 顶部是尖尖的，可以看到三角形从底部往顶部一直在变小，那么三角形的顶部会有多小呢？最小就是0了。所以如果我们把0当成是三角形的上底，那么三角形的公式就会变成

其中c = 0，所以三角形面积公式也是一个a1= 0 an= a长度为h的等差数列的求和公式。

我们回头看看梯形的面积公式还有另一个哦:

如图，这个其实是把等差数列排成一边是直角的梯形:

所以这个梯形的面积实际是计算边长分别为a1和n的矩形的面积，然后再加上底为(n-1)d 高位n的直角三角形的面积，所以:

这下我们把三角形的面积公式、梯形面积公式、等差数列求和公式统一起来了。

这就完结了吗？

这里由于孩子还没学到圆的面积，就暂时不说了，等到以后孩子学到再说。

最后，我们再来想一下，等差的本质是什么？

如图如果我们把2维数轴x轴作为数列，y轴作为数列长度n，那么y轴是不变的。我们在x轴上把数列的值标出来，那么数列的等差(即d)不同，a1~an的位置和疏密程度也不同。那么我们把数列的每个数值和对应位置n的空间交汇点连线画出来，是一条直线，

，d为等差数列的差项，所以实际上等差的本质是斜率不变。

所以我们的梯形，三角形的边都是一条直线，那我们最后说的圆呢？实际上把圆转成三角形后，其斜边的斜率=圆周率x2。

还是那句话，以上推导等差的本质那些都是我们大人的内心戏。斜率不变意味着斜边是直线，所以我跟孩子说的是很简单的具有共性的表象：你看，我们等差数列做成的细棍子中间或者一端对齐形成的图形，还有梯形，三角形，他们都有共同的特点，那就是他们的斜边都是齐齐的一条直线。

这虽然看起来就像是在说1 1=2一样傻的，但实际上可以为以后学到相关内容时埋下伏笔。具体要看教的人如何建立体系的引导。

数学知识的发散和统一过程要有垂直深度，站在更高的数学层次来讲解简单的数学问题，这样可以启蒙引导孩子的数学思维，并且可以形成一个垂直的教学体系，在孩子不同的知识阶段讲解同一条知识线上的不同内容。避免孩子学习的知识形成一个个的知识孤岛，孩子学习知识会更快更牢固。

就比如这里我用微积分的概念来讲解知识，并不是说我现在就教授孩子大学的知识，而是我们站在更高的高度来理解简单的数学问题，然后用简单的带含有微积分概念的启蒙手段来引导孩子的数学思维，我并没有直接和孩子提到微积分，但微积分作为其中一条主线将会存在和贯穿于我的教学中，如果我们坚持这样在不同学习阶段进行引导，那么当孩子学到高等数学时，就会有水到渠成的效果。

而发散和统一的思维，这也是很重要的科学研究的思维方式，每一条数学物理定理的产生都包含了发散思维和统一归纳的精神。