30度直角三角形的三种常用技巧：等腰直角三角形

30度直角三角形的三种常用技巧：等腰直角三角形5."谋定后动"后面可以"定量计算"了！如图，设EC=CF=x 则等腰△AGF中AF=AG=AE EF=3 2x，而"旋转全等"（△CDF≌△ADE）得CF=AE=3 又AC=AE EC=3 x;显然在直角三角形△ACF中，勾股定理可以计算出：x=1.4. 如上面第3点，∠GAF=∠EFG 并∠G=∠G 显然这又是"偏A型相似"，如图：染色两个三角形相似。而三角形△FEG是等腰三角形，所以三角形△AGF也是等腰三角形！漂亮！"竟然"有如此漂亮的美丽结论在后面等着！1.看到"AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB中点"，马上想到连接CD，得到"直角三角形斜边中线等于斜边一半：CD=AD=BD" CD三线合一垂直AB；再结合"∠EDF=90°"马上能得到"两

等腰直角三角形"套路深"，竟有这么多"基本图形"！

等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以"等腰三角形"、"直角三角形"、"对称"、"旋转拼接"、"勾股比1:1：√2"、"45°好角辅助线"、"半个正方形"等角度拓展延伸。

今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，非常漂亮。经过"见招拆招" "破解分解"竟然可以"获得"一连串等腰直角三角形的"固定性质"，并且具有"思维连贯性" "思路延展性"，结合常用条件，可以"伴生"解决好多等腰直角三角形的几何题！

题目：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB中点，点E在AC上，点F在BC上，∠EDF=90°，边AF，若∠CAF=2∠BDF， AE=3，则DF=_________

下面就如何"真实而自然"利用"基本图形"去"拆解破解"这道题！

1.看到"AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB中点"，马上想到连接CD，得到"直角三角形斜边中线等于斜边一半：CD=AD=BD" CD三线合一垂直AB；再结合"∠EDF=90°"马上能得到"两组全等"，如图，同色三角形全等。证明方法很多，也不太困难，若用"旋转思想"，则可以"秒证"！而且由DE=DF，可以得到直角三角形△DEF是等腰直角三角形！如图：

2.连接EF，可以得到"8字型相似"：两个45°角相等 对顶角相等。右图可得图上有三个α相等。

3.将直角三角形△FEC沿着CF向外"翻折"，可得：①第四个α角相等（如图）；②CF=CE，且和AE"共线"（垂直邻补角）

4. 如上面第3点，∠GAF=∠EFG 并∠G=∠G 显然这又是"偏A型相似"，如图：染色两个三角形相似。而三角形△FEG是等腰三角形，所以三角形△AGF也是等腰三角形！漂亮！"竟然"有如此漂亮的美丽结论在后面等着！

5."谋定后动"后面可以"定量计算"了！如图，设EC=CF=x 则等腰△AGF中AF=AG=AE EF=3 2x，而"旋转全等"（△CDF≌△ADE）得CF=AE=3 又AC=AE EC=3 x;显然在直角三角形△ACF中，勾股定理可以计算出：x=1.

5. 如上，x=1求出来后，就可以"发起最后的冲锋了"！在直角三角形△CEF中，EF=√（1 3^2）=√10，而直角三角形△DEF是等腰直角三角形！DF=EF/√2=√5，口算解决！

本题解法一路"翻山越岭"，解题过程一路"忍难拼搏"，"一曲肝肠断"，殊为不易！

上述解题过程6大步骤，"起承转合"做到"润滑自然"要费点"几何功力" "大胆尝试"。

更多是基于对"常见图形，基本结论"的"敏感性" "合理想象" "辅助线补全构建" "对接促成"让题目所有条件都能"有机关联"起来。