高中数学重要的均值不等式：利用均值不等式求最值的方法
高中数学重要的均值不等式：利用均值不等式求最值的方法为定值，故只需将凑上一个系数即可。，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到例1. 当时，求的最大值。解析：由知，
均值不等式
当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
一、配凑
1. 凑系数
例1. 当
时，求的最大值。
解析：由知，
，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到
为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当且仅当
，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8。
小结：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项
例2. 已知
，求函数
的最大值。
解析：由题意知
，首先要调整符号，又
不是定值，故需对
进行凑项才能得到定值。
∵
∴
当且仅当
，即
时等号成立。
小结：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离
例3. 求
的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当
，即
时
（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
当
，即
时
（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。
∴
的值域为
。
小结：分式函数求最值，通常化成
，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
例4. 已知
，求的最小值。
解法1：不妨将
乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当
时取等号，由
即
时，的最小值为
。
解法2：将分子中的1用
代换。
小结：本题巧妙运用“1”的代换，得到
，而
与
的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、换元
例5. 求函数
的最大值。
解析：变量代换，令
，则
当t＝0时，y＝0
当
时，
当且仅当
，即
时取等号。
故
。
小结：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方
例6. 求函数
的最大值。
解析：注意到
的和为定值。
又
，所以
当且仅当
，即
时取等号。
故
。
小结：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
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