高中数学四种核心问题，学会运用数学思想

高中数学四种核心问题，学会运用数学思想要学会区分概率和频率：3、在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．具体来说就是分为三类：1、在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．2、在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．

高考数学不仅关注的一个人掌握多少数学知识，更重要考查一个人运用知识解决问题能力的高低。如统计与概率相关知识就跟我们的实际生活非常贴近，生活当中在很多地方都会用到相关知识。因此，统计与概率相关知识点在高考数学中越来越受到高考命题老师的青睐，“准高三”学子们要在这一块知识内容上多下点功夫，力争拿到分数。

统计与概率看上去是在计算，利用一堆数据去分析一个问题，实际上运用统计与概率相关知识解决实际问题过程中，是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中蕴涵丰富的数学思想：必然与或然的思想。

什么是或然？

或然，指或者；随机的、没有规律的可能性。

具体来说就是分为三类：

1、在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．

2、在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．

3、在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．

要学会区分概率和频率：

1、用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．

2、在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nA/n为事件A出现的频率．

3、对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．

或然现象也称为随机现象，它具有两个最基本的特征：

一是结果的随机性；

二是频率的稳定性。

如在统计与概率相关知识中考查概率部分，一般会把重点放在考查古典概率的计算、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、重复独立试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望（均值）与方差有关问题等等。

典型例题1：

将某商场A，B两个品牌店在某日14：00﹣18：00四个时段（每个小时作为一个时段）的客流量统计并绘制成如图所示的茎叶图．

（1）若从B商场中任选2个时段的数据，求这2个时段的数据均多于A商场数据平均数的概率；

（2）从这8个数据中随机选取3个，设这3个数据中大于35的个数为X，求X的分布列和数学期望．

考点分析：

离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

题干分析：

（1）先求出A组4个数据的平均数，从而得到B组4个数据比A组平均数多的有3个，由此能求出这2个时段的数据均多于A商场数据平均数的概率；

（2）这8名促销员所促销件数多于35件的共有4人，则X的值可能为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

概率是一个常数，它是频率的科学抽象，将事件发生的频率近似地作为它的概率是求一事件概率的基本方法。

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件。

从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事件A的对立事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。

典型例题2：

有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：

考点分析：

相互独立事件的概率乘法公式；分层抽样方法．

题干分析：

（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；

（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率．

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

1、直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；

2、间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式求解，即正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便。