从无穷大数到绝对无穷大（3分钟读懂从一到无穷大）

从无穷大数到绝对无穷大（3分钟读懂从一到无穷大）假设有一家旅馆，这家旅馆有无穷多个房间和无穷个客人。1号客人对应1号房，2号对应3号房，3对应5，4对应7……这样下来，每个整数都能有一个单数和它对应，一一对应就是相等。而咱都知道，这单数是整数的一部分，而整数里还有双数。可是根据一一对应的办法，它们就是相等的。部分等于整体这个结论就是这么来的。听上去有点荒谬，可别忘了，咱们是在跟无穷大打交道，有限世界里的规矩，可能就要变一变了。这个方法叫一一对应。而用这个一一对应不光能解决无穷大数比较大小的问题，还可以得出一个有意思的结论，就是在无穷大数里面，部分可以等于整体！这又是怎么一回事呢？这两个数是无穷大的，咱们都不难想。一二三四五，整数这样数下去肯定是无穷多的，而线本来就是由无穷多个点组成的。那么这样的A和B，它们是不是一样大的呢？乍一看答案似乎是肯定的，可是为了保险起见，我们最好还是想办法比较一下。但是无穷大数该如何比较呢？我们说两个数字能比

今天介绍的这本书叫做《从一到无穷大》。本书讲述了无穷大的数有怎样的特性？人工数有什么意义？如何用数学原理来理解爱因斯坦的相对论？

这本书的作者是著名的物理和天文学家伽莫夫，他曾在1956年获得卡林加奖，这个卡林加奖，主要是颁给那些致力于向大众传播科学知识的科学家，而伽莫夫能拿到这个奖，正是因为他的这本《从一到无穷大》。这本书在70年代末被引进到咱们国内，很快就成为当时炙手可热的科普读物，让许许多多的有志青年，走上了科学研究的道路。直到今天，许多名人推荐科普作品时，首推是仍然是这本《从一到无穷大》，可见它有多经典。

接下来，我们来看本书的重点内容：无穷大数的特性以及数学里面不光有咱们熟悉的自然数，还有数学家们创造的人工数。

无穷大数的特性

无穷大的数，顾名思义，一定是非常、非常大的。那它究竟能有多大呢？咱们平时用的个十百千万亿也就是个有限的大数，那么有什么数是无穷大的呢？我们可以举这样两个例子：无穷大数A——所有整数的个数；无穷大数B——一条线段上所有点的个数。

这两个数是无穷大的，咱们都不难想。一二三四五，整数这样数下去肯定是无穷多的，而线本来就是由无穷多个点组成的。那么这样的A和B，它们是不是一样大的呢？

乍一看答案似乎是肯定的，可是为了保险起见，我们最好还是想办法比较一下。但是无穷大数该如何比较呢？我们说两个数字能比较，是因为我们知道它确切的大小，比如24和35，三分之一和八分之五。而对于刚才的无穷大数A和无穷大数B，咱们根本不知道它确切的大小，那么还能比吗？

其实还是可以的。我们比较无穷大数的时候，其实也可以返璞归真，采用这种一一对应的方法。比如说要想比较一条线段上点的个数和整数个数，我们就可以让点和整数一一对应。

这个方法叫一一对应。而用这个一一对应不光能解决无穷大数比较大小的问题，还可以得出一个有意思的结论，就是在无穷大数里面，部分可以等于整体！这又是怎么一回事呢？

假设有一家旅馆，这家旅馆有无穷多个房间和无穷个客人。1号客人对应1号房，2号对应3号房，3对应5，4对应7……这样下来，每个整数都能有一个单数和它对应，一一对应就是相等。而咱都知道，这单数是整数的一部分，而整数里还有双数。可是根据一一对应的办法，它们就是相等的。部分等于整体这个结论就是这么来的。听上去有点荒谬，可别忘了，咱们是在跟无穷大打交道，有限世界里的规矩，可能就要变一变了。

数学里面不光有咱们熟悉的自然数，还有数学家们创造的人工数

创造人工数并不是为了好玩，而是它们可以派上很大的用场。我们举一个最具代表性的人工数来说明这一点，这个数就是负一的平方根，也就是所谓的虚数i。

说到虚数，大家应该都有印象。可虚数的来历可能没几个人知道。负数的平方根是多少呢？没有哪个数的平方是负数，所以负数根本就没有平方根。

但这些数学家的脾气都很倔，一旦发现了什么东西没有意义，但还能表示出来，他们就准备去强行解释一下，给它点意义。

第一个强行给负数的平方根一个意义的数学家是16世纪的意大利人卡尔丹，他有天琢磨这么道题，说怎么把10这个数字分成两部分，让两部分的乘积等于40呢？他怎么想也想不出来，后来他强行做出了个答案，借助这么个不存在的数，解出了这道题，而虚数这个名号也就是从他这里来的。他还把虚数根号负一定义成虚数的基本单位，用i来表示。

不过卡老师这一步迈得有点大，他的虚数一直都不被人理解。这也不奇怪，毕竟他自己也不太清楚这到底是个什么玩意。直到两个世纪之后，两个业余数学家借助几何知识，才给虚数做出了解释。他们借助平面直角坐标系，把横轴x轴定义成实轴，用来表示实数，而y轴则是虚轴，用来表示纯虚数。这样一来，所有的复数就可以用这样一个坐标系上的点来表示。

复数平面在几何方面似乎用处不大，因为它只是平面直角坐标系的一个山寨版。不过在航海、力学、地图学等方面用处却不小。比如说我们要描述一条船的转向，如果使用平面直角坐标系，就需要用到三角函数等知识，计算量很大，但使用复数平面，只需要根据虚数的几何意义，也就是乘以i，相当于逆时针旋转了90度，把转向的角度用虚数表示出来，再做一个乘法就可以了，非常简单。

好了，今天这本书就讲到这里，我们下本书再会。