正多面体的图形（图形的表示---正多面体）

正多面体的图形（图形的表示---正多面体）这些结果是重要的，但是，得到这些结果的证明方法则是更重要的。这个证明依赖一个关于多面体点，棱，面的个数之间的一个关系公式，这个公式后来被称为欧拉公式：在一个简单多面体中，用V表示顶点个数，E表示棱的个数，F表示面的个数，则欧拉公式为：这五种正多面体是：正四面体，正八面体，正六面体，正十二面体，正二十面体。 图（1）五种正多面体

毕达哥拉斯

古希腊有许多学者热衷于几何的研究，甚至有的学者还热衷于几何的教学，这为几何逐渐形成为一门学科奠定了结构基础，因为教学与研究不同，研究可以是个案地，独立地进行，而教学则必须相对成体系，要明确概念，要构建前后关系。关于这一点，普罗克洛斯在介绍完泰勒斯的工作之后又写道：

“毕达哥拉斯继泰勒斯之后，将这门科学改造为自由的教育形式，首先检验其原理，并用一种无形和理智的方式探讨其定理”

关于毕达哥拉斯学派的工作，我们曾讨论过，他们相信宇宙的构造与整数有关，当他们发现√2是无理数时，就把发现者扔到大海里。关于几何学，除了毕达哥拉斯定理之外，他们还有一个重要的工作，就是发现并证明了三维空间只有五种正多面体，如图（1）所示

图（1）五种正多面体

这五种正多面体是：正四面体，正八面体，正六面体，正十二面体，正二十面体。

这些结果是重要的，但是，得到这些结果的证明方法则是更重要的。这个证明依赖一个关于多面体点，棱，面的个数之间的一个关系公式，这个公式后来被称为欧拉公式：在一个简单多面体中，用V表示顶点个数，E表示棱的个数，F表示面的个数，则欧拉公式为：

V-E F=2 (1)

通过具体图形的计算，是容易归纳出这个公式的，但是要证明这个公式还是需要相当的思考。在欧拉公式的基础上，证明只存在五种正多面体就比较容易了，我们证明如下。

因为是正多面体，因此，每个面都是相同的正多边形，设每个面是正n边形；交于每个顶点的棱的个数是相同的，设为m。先用面来计算棱数，因为每条棱属于两个面，可以得到

Nf=2E

再用顶点来计算棱数，因为每条棱有两个顶点，可以得到

mV=2E

代入（1）式可以得到

2E/m-E 2E/n=2

整理后有

1/n 1/m=1/2 1/E (2)

因为每个面的多边形至少有三个边，即n≥3；每个顶点至少有三个棱相交，即m≥3。又因为E为正整数，由（2）式，n和m不能同时为大于3的数，否则（2）式的左边将不可能大于1/2。这样

当n=3时，m=3，4，5，E=6，12，30，对应正四面体，正八面体，正二十面体

当m=3时，n=3，4，5，E=6，12，30，对应正四面体，正六面体，正十二面体

这样就得到了毕达哥拉斯学派的结论：三维空间只有五种正多面体。我们不知道毕达哥拉斯学派是如何得到这个结论的，但有一点是可以肯定的，就是他们已经能够清晰地分辨出什么是正多面体，以及正多面体的顶点，棱和面，并且能够直观地得出一些涉及这些概念之间的关系式。