一次函数最新专栏（让我们一起来玩转一次函数）

一次函数最新专栏（让我们一起来玩转一次函数）∵一次函数y＝x k的一次项系数大于0，常数项小于0，【解答】∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，对k的理解是很关键的。因为孩子没有学斜率这个概念，没学三角函数也很难讲清斜率这个概念。这就要我们仔细琢磨教材中均匀变化了，实际上要孩子体会到x增加1，y的变化值为k就好办了。我们就不难理解k大于0的时候单调递增，k小于0的时候单调递减。结合图像不难得出：k 的取值←→ y 随 x 的增大而增大 (减小) ←→函数图象从左到右上升 (下降) ←→函数图象过一，三象限（二 四象限）。例1．（2019•大庆中考题）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x k的图象大致是（ ）

一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，也是学生今后进一步学习初、高中其它函数和高中解析几何中的直线方程的基础。从这里开始，我们就正式从常量世界进入变量世界了。数学从此就好玩多了。

1.掌握一次函数的解析式的特征，简单来说，就是"一条直线，两个系数"。

首先，一次函数的图像是一条直线。这点相对容易理解，只要乐意画图的孩子，都能从动手画图的过程中有所体会。

其次是两个待定系数：k 和b 。b还好说，就是截距。b 的取值←→函数图象与y轴的交点情况。

对k的理解是很关键的。因为孩子没有学斜率这个概念，没学三角函数也很难讲清斜率这个概念。这就要我们仔细琢磨教材中均匀变化了，实际上要孩子体会到x增加1，y的变化值为k就好办了。我们就不难理解k大于0的时候单调递增，k小于0的时候单调递减。

结合图像不难得出：k 的取值←→ y 随 x 的增大而增大 (减小) ←→函数图象从左到右上升 (下降) ←→函数图象过一，三象限（二 四象限）。

例1．（2019•大庆中考题）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x k的图象大致是（ ）

【解答】∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，

∵一次函数y＝x k的一次项系数大于0，常数项小于0，

∴一次函数y＝x k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．故选：A．

例2．（2019•荆门中考题）如果函数y＝kx b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（ ）

A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0

【解析】结合题意，分k＝0和k＞0两种情况讨论，即可求解；

∵y＝kx b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，

当k＝0，b＜0时成立；当k＞0，b≤0时成立；

综上所述，k≥0，b≤0；故选：A．

例3．（2019•杭州中考题）已知一次函数y₁＝ax b和y₂＝bx a（a≠b），函数y₁和y₂的图象可能是（ ）

【解答】A、由①可知：a＞0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；

B、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；

C、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；

D、由①可知：a＜0，b＜0，∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．

说起函数的好玩，数形结合的功劳最大。方程，不等式，不等式组，方程组我们都可以用一次函数的观点来理解。一元一次不等式实际上就看两条直线上下方的关系，求出端点后可以很容易把握解集；至于一元一次方程可以把左右两边看为两条直线来认识，直线交点的横坐标就是方程的解；至于二元一次方程组就是对应2条直线，方程组的解就是直线的交点，结合图形可以认识两直线的位置关系也可以把握交点个数。如果一个交点时候两条直线的k不同，如果无穷个交点就是k b都一样，如果平行无交点就是k相同，b不一样。至于函数平移的问题可以化归为对应点平移。k反正不变，然后用待定系数法得到平移后的方程。这就是化一般为特殊的解题方法。

倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，直线y=kx b越接近y轴；|k|越小，倾斜度越小，直线y=kx b越接x轴。

平移：y=kx b的图像可由y=kx图像平移|b|的向上（向下）单位长度得到；

y=kx b的图像向上平移m个单位：y=kx b m；向下平移n个单位：y=kx b-n；向左平移m个单位：y=k(x m) b；向右平移n个单位：y=k(x-n) b；

简称：上加下减，左加右减；(注：上加下减到代数式后面；左加右减到x后面，直接与x进行加减，与系数和指数都没关系）。

例4．（2019•贵阳中考题）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x b1与y＝k2x b2的图象

例5．（2019•邵阳中考题）一次函数y₁＝k₁x b₁的图象l₁如图所示，将直线l₁向下平移若干个单位后得直线l₂，l₂的函数表达式为y₂＝k₂x b₂．下列说法中错误的是（ ）

A．k₁＝k₂ B．b₁＜b₂

C．b₁＞b₂ D．当x＝5时，y₁＞y₂

【解答】∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴直线l1∥直线l2，∴k1＝k2，

∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴b1＞b2，∴当x＝5时，y1＞y2，故选：B．

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx b；

（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．

注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx b，则需要两组x，y的值．

例6．（2019•绍兴中考题）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（ ）

A．﹣1 B．0 C．3 D．4

【解答】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y＝kx b，

∴4=k b 7=2k b∴k=3 b=1，∴y＝3x 1，将点（a，10）代入解析式，则a＝3；

故选：C．

2.一次函数应用的节点

当然，好玩的函数，更多体现在应用题上。函数有三要素：定义域、值域、解析式。我们考虑函数问题的时候首先就要考虑定义域，很多应用题是分段函数，那么我们就要求出各个线段和射线的解析式，并指出x的取值范围，很多时候就要注意考虑结合一元一次不等式组。一般要使得问题有意义，如油箱余下油的问题，要注意时间，和余下的油非负；如三角形问题，注意边长非负，还有就是两短边和大于长边。还有使用原料问题原料不能比总数多等。在考虑问题的时候还要注意如何写每段的解析式。有的题是给出图写解析式，有的是解析式与图结合。看图特别要注意起点，折点。一般我们可以从代数角度认识求解析式，比如的士付费问题，也可以找图形上用两点式求。但我们把握了实际问题的k 就是对应单价，速度，工效，那个"每多少"的东西就好办了。这样求解析式会轻松些 这就要我们仔细体会均匀变化这句话了。这样才能很好把握k，这对数形结合要求就比较高了。

例7．（2019•大连中考题）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时间x（单位；min）的函数图象，则a﹣b＝_______ ．

【解答】从图1，可见甲的速度为120/2＝60，从图2可以看出，当x＝6/7时，二人相遇，即：（60 V已）×6/7＝120，解得：已的速度V已＝80，

∵已的速度快，从图2看出已用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，

a﹣b＝120/60—120/80＝1/2，故答案为1/2．

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

（2）用画函数图象的方法解不等式kx b＞0（或＜0）;

对应一次函数y=kx b，它与x轴交点为（﹣b/k，0）．

当k＞0时，不等式kx b＞0的解为：x＞﹣bk，不等式kx b＜0的解为：x＜﹣bk；当k＜0，不等式kx b＞0的解为：x＜﹣bk，不等式kx b＜0的解为：x＞﹣bk．

例8．（2019•通辽中考题）如图，直线y＝kx b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx b≥3的解集为（ ）

A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≥﹣1

【解析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．

观察图象知：当x≥﹣1时，kx b≥3，故选：D．

例9．（2019•遵义中考题）如图所示，直线l1：y＝3/2x 6与直线l2：y＝﹣5/2x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式3/2x 6＞﹣5/2x﹣2的解集是（ ）

A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2

【解析】利用函数图象写出直线l1：y＝3/2x 6与在直线l2：y＝﹣5/2x﹣2上方所对应的自变量的范围即可．当x＞﹣2时，3/2x 6＞﹣5/2x﹣2，所以不等式3/2x 6＞﹣5/2x﹣2的解集是x＞﹣2．故选：A．

函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．

不过，要数真正好玩的还在后头呢。我们初二数学的压轴题，就特别钟情于一次函数与各种四边形的任意结合。那就等我们学完四边形，再续这个话题吧。

例10．（2019•雅安中考题）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．

【解答】（1）依题意可得方程：360/(x 60)=180/x，

解得x＝60，经检验x＝60是方程的根，∴x 60＝120元，

答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元；

（2）∵销售甲种商品为a件（a≥30），∴销售乙种商品为（50﹣a）件，

根据题意得：w＝（200﹣120）a （100﹣60）（50﹣a）＝40a 2000（a≥30），

∵40＞0，

∴w的值随a值的增大而增大，

∴当a＝30时，w最小值＝40×30 2000＝3200（元）．

例11．（2019•乐山中考题）如图，已知过点B（1，0）的直线l₁与直线l₂：y＝2x 4相交于点P（﹣1，a）．

（1）求直线l1的解析式；

（2）求四边形PAOC的面积．

【解答】（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y＝2x 4上，∴2×（﹣1） 4＝a，即a＝2，

则P的坐标为（﹣1，2），

设直线l1的解析式为：y＝kx b（k≠0），那么k b=0. –k b=2 ，解得：k=-1 b=1．

∴l1的解析式为：y＝﹣x 1．

（2）∵直线l₁与y轴相交于点C，∴C的坐标为（0，1），

又∵直线l2与x轴相交于点A，

∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3，

而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，

∴S四边形PAOC＝1/2×3×2-1/2×1×1=5/2．

3.为了便于记忆一次函数相关知识， 可归纳一次函数的图象与性质的口诀：

一次函数是直线，图象经过三象限；

正比例函数更简单，经过原点一直线；

两个系数k与b，作用之大莫小看，

k是斜率定夹角，b与y轴来相见，

k为正来右上斜，x增减y增减；

k为负来左下展，变化规律正相反；

k的绝对值越大，线离横轴就越远。

总之，要学好函数，首先要以运动的观点看问题，再就是要熟练把握函数图象。一条直线的问题嘛，只要把握了两点，尤其是与坐标轴的交点就好办了。