50道奥数题及参考答案（一道带研究模式的奥数题介绍及解答）

50道奥数题及参考答案（一道带研究模式的奥数题介绍及解答）但若你没有良好的数学思维模式和能力，你就找不到关键点，你就无从下手解决这样的问题。本题作用，就不在于考你的数学知识的丰厚，可以说，用的知识太少了，多边形内角和公式，再就是解一元一次方程，都是初中知识。二、推荐理由：这是一道上好的奥数题，理由是它的解答，带有一定研究性课题模式，这对培养学生的研究性学能力很重要，从而可为学生以后深入研究数学问题，作指引和借鉴。学生数学学习，侧重点是什么？一在学扎实的基础知识，二在培养学生研究能力，为以后成为尖端数学研究人员作好铺垫。

一道带研究模式的奥数题介绍及解答（彭彤彬）

一、题目：

把一个凸多边形沿着几条直线（在多边形内部无交点）剪开，分成若干个多边形。分割后的多边形的边数和比原多边形边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍。

求原多边形的边数与把原多边形分割成的多边形个数。

二、推荐理由：

这是一道上好的奥数题，理由是它的解答，带有一定研究性课题模式，这对培养学生的研究性学能力很重要，从而可为学生以后深入研究数学问题，作指引和借鉴。

学生数学学习，侧重点是什么？一在学扎实的基础知识，二在培养学生研究能力，为以后成为尖端数学研究人员作好铺垫。

本题作用，就不在于考你的数学知识的丰厚，可以说，用的知识太少了，多边形内角和公式，再就是解一元一次方程，都是初中知识。

但若你没有良好的数学思维模式和能力，你就找不到关键点，你就无从下手解决这样的问题。

但研究未知问题，重要的是找突破口，抓住关键常识性结论，这些结论没学过，但经过研究探讨易得，并用于解决你的问题时，很有用有效。

这一种数学思维模式，当然是走向研究性学习的坦途，当然是你想成为研究人员不可少的步骤。

这就是这是一道上好的奥数题的理由。

三、答案：

原多边形边数为12，有两种分割方法，但将原多边形都分割成6个多边形。

四、解答过程：

先研究所有可能的基本情况，即一条分割线将一个多边形分成两个多边形时，边数与内角和的变化的所有情况。

通过思考，我们可得下列三个基本情况的相关结论，要记住，后面要引用的。

①当分割线过已知多边形的两个顶点时，分割后的多边形比原多边形，边数增加2，内角和不变。见下图：

②当分割线过已知多边形的一个顶点，另一端与已知多边形的一边相交但不过这边的端点时，分割后的多边形比原多边形，边数增加3，内角和增加180度。见下图：

③当分割线不过已知多边形的任一个顶点，即它与已知多边形的两边相交但不过这两边的端点时，分割后的多边形比原多边形，边数增加4，内角和增加2×180度=360度。见下图：

有了这三个基本结论后，我们开始解本奥数题了。

我们看，分割后边数增加13，所以边数增加值中只能出现一个3，或3个3。

如果有2个或4个3的话，余下的边数和是奇数，不能拆成2与4的和，那就不能完成满足条件的分割了。

当分割后的增加边数中只有一个3，即只有一条分割线过原多边形的一个顶点，其他的分割线要么过原多边形的两个顶点，要么一个顶点也不过时，13=3 4 4 2=3 4 2 2 2=3 2 2 2 2 2，有且只有这三种情况。

然后在这三种情况下，设原多边形的边数为n，再考察内角和增加的量可列出方程，只有一种情况有大于等于3的正整数解，为n=12。如下图：

由于只有13=3 4 2 2 2这种情况有解n=12，可见有五条分割线，将原多边形分割成了六个多边形。

其中五条分割线为，一条过一个顶点，一条一个顶点也不过，另三条每条过两个顶点。

见下图：

当分割后的增加边数中有三个3，即有三条分割线过原多边形的一个顶点，其他的分割线要么过原多边形的两个顶点，要么一个顶点也不过时，13=3 3 3 4=3 3 3 2 2，有两种情况。

再对这两种情况，考察分割后增加的内角和，可列出两个方程，得一个满足条件的解n=12。

见下图：

n=12时，13=3 3 3 2 2，所以分割线有五条，其中有三条只过一个顶点，另两条每条过两个顶点，最后将原多边形分成6个多边形。

见下图：

综上知，所求的解为12，6。