行星轮动力学方程：广义相对论之美

行星轮动力学方程：广义相对论之美水星进动角如上图（取自北大梁灿彬老师的《从零学相对论）勒威耶猜测那多出来的43角秒是受到一颗未知天体的影响，并给它起了个名字：瓦肯星。这件事还要从1697年说起，在开普勒时代，人们对太阳系中各天体的运动已经有了初步的认识，那时候水星已经被发现了。水星长得很像月球，同时，它是太阳系中最小且最靠近太阳的行星。它旋转一周要用是87.9691天，116天左右与地球会合一次，公转速度远远超过可太阳系的其它行星。1859年，法国天文学家勒威耶发表了他的研究报告：他用牛顿力学和拉格朗日力学对水星进行了长期的研究：水星的近日点受到不知名的影响产生了进动，按照理论天体力学计算出来的进动率是每个世纪5557角秒，然而从1697年至1848年的天文观测表明水星的进动率是5600角秒，其中相差了43角秒。

“科学是严苛的， 认知皆模型。我们只是描述自然事物，而不是去解释自然事物为何如这般所见。”

今天我要给大家讲一个非常重要的公式：它就是行星进动方程，它是广义相对论所推导出的产物，对椭圆轨道的行星进动现象均可适用，式中a为椭圆轨道的长半轴，e为离心率，T为行星绕恒星一周所用的时长（行星年），c为光速：

a为椭圆轨道长半轴，e为离心率，T为行星年（周期）c为光速

它还有一种写法，M为大恒星的质量，G为万有引力常数，L为行星角动量，c为光速：

这件事还要从1697年说起，在开普勒时代，人们对太阳系中各天体的运动已经有了初步的认识，那时候水星已经被发现了。

水星长得很像月球，同时，它是太阳系中最小且最靠近太阳的行星。它旋转一周要用是87.9691天，116天左右与地球会合一次，公转速度远远超过可太阳系的其它行星。

1859年，法国天文学家勒威耶发表了他的研究报告：他用牛顿力学和拉格朗日力学对水星进行了长期的研究：水星的近日点受到不知名的影响产生了进动，按照理论天体力学计算出来的进动率是每个世纪5557角秒，然而从1697年至1848年的天文观测表明水星的进动率是5600角秒，其中相差了43角秒。

勒威耶猜测那多出来的43角秒是受到一颗未知天体的影响，并给它起了个名字：瓦肯星。

水星进动角如上图（取自北大梁灿彬老师的《从零学相对论）

然而，由于实验观测和这一猜想有许多矛盾的地方，当时许多科学家都不认可他的观点，并不存在所谓的“瓦肯星”。

直到1905年爱因斯坦(Einstein)发表了题为 《论动体的电动力学》一文中提出的区别于牛顿时空观的时空理论：

当一个现象在两个不同的坐标系中被观测时，那两个坐标系各自观察的结果将可能怪异性的不尽相同：尽管他们看起来相似，事实上已经存在微妙广义相对论认为一切物理现象不过是物理客体在客观弯曲时空中的演化。它同万有引力规律那样难以察觉，我们唯一能做的就是通过数学物理的方法猜出这些弯曲时空中所满足的物理表达式（它们往往极其复杂），所依据的是广义协变性原理。广义相对论中事件间隔和时间间隔的关系式中多了一项引力势ψ。

而后，爱因斯坦又在1915年发表了囊括狭义相对论的广义相对论：

广义相对论认为一切物理现象不过是物理客体在客观弯曲时空中的演化。它同万有引力规律那样难以察觉，我们唯一能做的就是通过数学物理的方法猜出这些弯曲时空中所满足的物理表达式（它们往往极其复杂），所依据的是广义协变性原理。广义相对论中事件间隔和时间间隔的关系式中多了一项引力势ψ。

事件s：某一实物粒子所发生的事件可由粒子的三个坐标(x y z)及事件发生的时间t来决定。我们用(ds)来表示(粒子的事件)这个事件ds内涵了“粒子时空为一整体”的思想，希望大家仔细体会这个定义：

爱因斯坦研究了水星近日点进动这个奇怪的现象，他曾说道：

“倘若我们用更精确的场方程计算引力场，就会发现结果与牛顿的行星运动规律有所偏差，可以通过引力场方程计算出43角秒这个误差.....人们有足够理由相信，瓦肯星的假设是多余的。”

从广义相对论中，水星可以看作史瓦西时空的一个自由质点。我们知道，牛顿的万有引力定律永远指向吸引的物体 设太阳的质量为M 水星的质量为m：

我们引入洛伦兹因子γ和泰勒公式，对上面的公式进行狭义相对论修正：

根据动量守恒原理，我们最后得到：

之后要用到拉格朗日力学和张量分析等知识，通过线元分析，我们得到由于推导十分繁琐，思维跨度巨大，笔者怕各位看不懂，就不再赘述中间步骤了，只展示一些让大家领略一下物理学的艰深。

测地线方程：

γ为克里斯托弗符号，它是三阶张量，非常复杂

张量：

我们得到几个有关拉格朗日力学中的微分方程，大家虽然看不懂它，只是享受这优美的数学表达式，不乏是一种乐趣。

再经过几十步的数学运算，对它求解，我们最终得到了水星进动角，太阳质量M，水星单位质量的角动量L关系：

a为长半轴，e为离心率

我们把万有引力常量G以及各数据带入上面的方程，可以算出水星的偏移进动量正好是43角秒。

这里面的每一个实际数据，都凝聚了物理前辈的杰出才智，得到它们可不容易

当爱因斯坦算出那个偏移量和自己的理论吻合时，他就马上给当时物理学界的大佬们写信交流这一成果，爱因斯坦甚至为此失眠了一整周。这是广义相对论在实际验证方面的成功之一。

最后，笔者认为，一个合格的科学理论无需完全自洽，它首先要能解释实际现象并且预言新的现象，同时新的现象又能够被实际观测以反过来检验理论，那么即使它理论上有微小的bug，它也应当得到世人的认可（比如广义相对论）。

反之，即使一个理论能够自洽（比如弦理论，布兰斯-迪克理论等），但是它既没能正确解释实际现象（比如弦理论解释宇宙膨胀出现失误），预言的现象还不能被实验所检验（超对称粒子没有被实验发现），它可以被文学界认可，但不应当得到科学界的认可。