定积分几何意义计算方法：高等数学 简单理解定积分的原理

定积分几何意义计算方法：高等数学 简单理解定积分的原理我们如此操作，可以把这一块扇形分割成无数个这样的小三角形，最后我们把这些小三角形的面积全部加起来，就可以得到扇形的面积。由于l趋向于0，每一个小三角形和小扇形的面积差的极限都是0，所以可以近似看成它们相等。直角三角形的面积很简单，我们都会算，我们令短的直角边长度是l。那么这个小三角形的面积就等于1/2 rl。除此之外还有别的办法吗？当然是有的，我们来看下面这张图：在下面这张图当中，我们从扇形上切了一小块出来，做了一个直角三角形。我们令这个直角三角形无限窄，那么它的面积就可以近似于这一块小扇形的面积。

今天是高等数学第11篇文章，我们来看看定积分的相关内容。

对于很多人来说定积分的内容其实早在高中就已经接触过了，比如在高中物理当中，我们经常使用一种叫做”微元法“的方法来解决一些物理问题。但实际上所谓的”微元法“本质上来说其实就是一种微积分计算方法。我们来看两个简单的例子。

微分与积分的例子

第一个例子是扇形的面积计算，先别急着笑，我知道这个是初中的内容。扇形的面积谁不会算，扇形的面积等于圆的面积乘上圆心角嘛。

圆的面积我们都知道 πr^2，如果是扇形的话，再加上圆心角，我们用弧度制来表示圆心角，可以直接进行计算：πrθ。

除此之外还有别的办法吗？

当然是有的，我们来看下面这张图：

在下面这张图当中，我们从扇形上切了一小块出来，做了一个直角三角形。我们令这个直角三角形无限窄，那么它的面积就可以近似于这一块小扇形的面积。

直角三角形的面积很简单，我们都会算，我们令短的直角边长度是l。那么这个小三角形的面积就等于1/2 rl。

我们如此操作，可以把这一块扇形分割成无数个这样的小三角形，最后我们把这些小三角形的面积全部加起来，就可以得到扇形的面积。由于l趋向于0，每一个小三角形和小扇形的面积差的极限都是0，所以可以近似看成它们相等。

这样一番操作之后，我们可以用无数个小三角形的面积来代替扇形的面积。对于这些小三角形而言，它们的面积都是1/2 rl。把它们进行累加，本质上也就是把这些所有的短边进行累加。那么显然，这些所有的短边累加之后的结果就是扇形的弧长。

我们假设这块扇形的弧长是L，那么整个扇形的面积还可以表示成1/2rL。

我们可以简单验证一下，一个完整的圆也可以看成是一个扇形。一个完整的圆，它的弧长，也就是周长是2πr。我们代入刚才的公式，得到的结果和圆的面积公式吻合，所以我们的计算是正确的。

在这个例子当中扇形分割成的每个小三角形是一样的，所以我们可以直接进行累加。如果我们微分之后的结果不再是固定的，是变化的，那么应该怎么办？

我们再来看另外一个例子：

比如我们要求a和b两点围成的曲线矩形的面积，我们也可以将矩形进行拆分。我们可以无限拆分成多个小的矩形的面积去替代。我们可以很容易证明，当Δx趋向于0的时候，那一块小的矩形面积和曲线矩形的面积相等。所以我们可以把它拆分成无数个这样的矩形，然后将所有的面积求和，就得到了曲线围成的面积。

对于每一块矩形而言，它们的宽都是Δx，但是它们的高都不相同。但是很容易看出来，它们的高都是区间里某一个坐标的函数值。其实我们可以写出来这些序列的值，它们分别是: a a Δx a 2Δx ... b。

为了方便书写，我们令这个序列等于 {ζ1 ζ2 ζ3 ... ζn} 所以曲线围成的面积可以写成：

定积分的定义

我们观察一下上面这个问题，其实我们知道了很多信息，比如我们知道了函数f(x)，我们还知道了a和b的值，看起来已经离结果很近了。的确如此，但是在我们继续往下之前，我们必须要明确一点，我们这样的推算是有前提的。

最大的也是隐藏的前提就是我们做的划分，我们必须要保证两点，首先我们要保证当Δx趋向于0的时候，矩形高度的极限是确定的。并且这些小矩形的面积和的极限趋近于它真实的面积。

我们用数学的语言来表达，也就是说，我们无论如何选取每一个ζi，我们都要保证