初等数论知识总结，初等数论入门什么是
初等数论知识总结，初等数论入门什么是这种可以自由进行加减乘除运算的数的集合就叫作「域」。因此， 可以说全体有理数构成了域，即下列各等式是成立的。包括所有正负整数和正负分数在内的数的集合叫作有理数，数的范围扩展至此，在这一范围内可以自由地进行加、减、乘、除的运算（不过，0 不能作除数）。…… −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 ……就能自由地进行减法运算了。但是，负数的出现并不能保证除法运算的自由进行，例如，我们还是无法得出 2 ÷ 3 的结果。为此必须引入 2/3 这种新的数，也就是说，分数是必需的。
伽罗瓦提出一种名为“有限域”（finite field，日语将其称为“有限体”）的理论。在为大家做具体介绍之前，我先来讲讲什么是域。我们从上小学开始就不断学习与数有关的知识，想必大家一定已经发现了，学习中接触到的数的种类在逐渐增加。我们最先接触自然数 1 2 3 ……，然后是 2/3、3/4 等分数和 1.5、0.04 等小数，再后来又学习了 −2、-5 等负数。
接下来会接触到诸如正方形对角线的长度等，像 √2 这样的无理数。无理数无法用分数表示。
数自身不断进化，其种类也不断增加。这究竟是为什么呢？当然是为了方便计算。
当大家只了解自然数 1 2 3 …… 的时候，虽然可以自由地进行加法运算，但却无法随意地进行减法运算，因为较小的数不能减较大的数。想让小数减大数就要创造出新的负数。也就是说，只要将数的范围扩展至负数
…… −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 ……
就能自由地进行减法运算了。
但是，负数的出现并不能保证除法运算的自由进行，例如，我们还是无法得出 2 ÷ 3 的结果。为此必须引入 2/3 这种新的数，也就是说，分数是必需的。
包括所有正负整数和正负分数在内的数的集合叫作有理数，数的范围扩展至此，在这一范围内可以自由地进行加、减、乘、除的运算（不过，0 不能作除数）。
这种可以自由进行加减乘除运算的数的集合就叫作「域」。因此， 可以说全体有理数构成了域，即下列各等式是成立的。
不过，“域”这个字在这里没有什么特殊的含意。无论大家怎么查询都不会找到“域”在数学中的含意。
虽然全体有理数构成了域，但域并非仅指有理数。除有理数之外，还存在无理数。有理数和无理数共同构成了实数，所有实数也构成了域，即下列各等式也都成立。
所有实数都可以自由进行加减乘除运算，因此实数也构成了域。除此之外还有很多个域。
例如，所有具有以下这种形式的数也能构成域。
任意选取两个这样的数进行加减乘除运算，其结果也永远是上面这种形式的数。由此可知，所有具有这种形式的数构成了域。
2. 最小的有限域以上举出的域只不过是无数个域中的两三个实例，这些域中都包含着无穷多个数。不过，并不是所有域中都一定包含无穷多个数，也存在一些由有限多个数构成的域。
由有限多个数构成的域叫作「有限域」。由于最初研究有限域的数学家为伽罗瓦，所以我们也将有限域称为“伽罗瓦域”。
在有限域中，数的个数最少为 2。
这个域就是用 (mod 2) 对整数进行分类时的剩余类。
用 (mod 2) 进行分类后，整数将被分为两类，一是包含 0 的类，即偶数；二是包含 1 的类，即奇数。我们在此假设，所有偶数用 0 表示，所有奇数用 1 表示。
大家可能觉得 1 1 = 0 有些奇怪，但只要把它看作是奇 奇 = 偶的意思就很好理解了，或者也可以认为它的意思等同于 1 1 ≡ 0 (mod 2)。
乘法运算的情况如下。
具有上述 和 × 的计算规则的 0 和 1 的集合就构成了域。
根据"同余式与等式"一节介绍可知，利用 (mod n) 对整数分类后，- 和 × 等各种运算规则仍然成立。
当然，对于 (mod 2) 应该也成立。
另外，对于非 0 的“数”，也就是 1 而言，其逆元*为 1 本身，所以 ÷1 和 ×1 的结果相同。
* 通常在数学领域它与“倒数”的意思相同，指该“数”乘以“某数”等于 1 时的“某数”。
也就是说，{0 1} 这个“数”的集合构成了域。
3. 用 (mod 3) 进行分类时的有限域下面我们来看看 (mod 3) 的情况。
剩余类包含 0，1，2 这三类。加法运算和乘法运算如下表所示。
由该表可知，由于 1 × 1 ≡ 1 2 × 2 ≡ 1，所以 1 的逆元为 1 2 的逆元为 2。也就是说，0 以外的数都有逆元，所以 {0 1 2} 构成了域。
4. 用 mod 4 进行分类则无法构成有限域接下来让我们用 (mod 4) 进行分类。剩余类共包含 0，1，2，3 这四类。
根据上表可知，此时 2 · 2 ≡ 0，所以 2 没有逆元。
也就是说，因为非 0 的 2 没有逆元，所以不能构成域。
5. 用 mod 5 进行分类时的有限域下面让我们来试试用 (mod 5) 进行分类。由于剩余类包含 0， 1，2，3，4，所以加法和乘法表如下。
根据乘法表可知，
由此可知，除 0 以外的其他“数”都有逆元。
6. 若 p 为素数，则剩余类为有限域至此，我们可以推测出当 n 为素数时，(mod n) 的剩余类能构成个数为 n 的有限域。
事实的确如此。
我们知道，当 p 为素数且用 (mod p) 进行分类时，费马小定理是成立的。
也就是说，对于非 0 的 a 而言，以下同余式恒成立。
在此令 a^(p-1)=a·a^(p-2)，则
由此可知，a^(p-2) 是 a 的逆元。
因此，非 0 的 a 确实总是存在逆元。由此可知，相应的剩余类可以构成域。例如 (mod 5)
同理可得
再如 (mod 7)
综上，以素数 p 为 mod 后得到的剩余类能构成个数为 p 的有限域，由此可知 1 个素数有 1 个有限域。然而，由于素数有无穷多个， 所以有限域也有无穷多种类。
7. 根据原根表找出逆元如果我们手边有原根表，那么就能轻松地找出逆元。例如 (mod 7)。因为原根为 3，所以
由此可知
也就是说，当 3^s 表示逆元时，用 6 减去（原来的数的）指数即可得到 S。
上文节选自人邮·图灵《数学女王的邀请：初等数论入门》 [遇见]已获授权.
