柏拉图公式解释：人人都能看懂的美妙证明 图解柏拉图多面体和欧拉公式

柏拉图公式解释：人人都能看懂的美妙证明 图解柏拉图多面体和欧拉公式土与其他的元素相异，因为它可以被堆栈，正如正六面体（正立方体）。当水放到人的手上，它会自然流出，那它就应该是由很多小球所组成，好像正二十面体。柏拉图认为世界由四古典元素组成，其形状如正多面体中的其中四个。火的热让人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体。空气是用正八面体制成的，可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑。

作者 | 大吴

来源 | 大小吴的数学课堂

1 柏拉图多面体

正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。正多面体一共只有5个，最早由古希腊哲学家柏拉图发现，所以也称柏拉图多面体。

柏拉图认为世界由四古典元素组成，其形状如正多面体中的其中四个。

• 火的热让人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体。

• 空气是用正八面体制成的，可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑。

• 当水放到人的手上，它会自然流出，那它就应该是由很多小球所组成，好像正二十面体。

• 土与其他的元素相异，因为它可以被堆栈，正如正六面体（正立方体）。

剩下没有用的正多面体——正十二面体，柏拉图以不清晰的语调写：“神使用正十二面体以整理整个天空旳星座。”柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素——以太，并认为天空是用此组成，但他没有将以太和正十二面体联系。

2 欧拉公式

我们知道，空间中的多面体由顶点、面、棱组成，将它们的数量简记为、、，现在来研究一下三者之间的关系，列个表：

类型	顶点数	面数	棱数	计算
正四面体	6
正六面体	8	6	12
正八面体	6	8	12
正十二面体	20	12	30
正二十面体	12	20	30

我们发现，的值总是2，这是巧合吗？还是说这是正多面体满足的特有规律？

来看一个不规则多面体：

同样地，我们列表：

类型	顶点数	面数	棱数	计算
不规则多面体	16	10	24

仍有，这似乎表明任意多面体的顶点数、面数、棱数都满足这个数量关系。

事实上，数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，都有

这个恒等式成立，它被称之为多面体欧拉公式。

这里需要说明一下，所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚是一个拓扑学概念，你可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）。

欧拉公式的完整形式是

这里的称为欧拉示性数，它是一个拓扑不变量，与空间体的性质有关，当为简单多面体时，有

3 证明

现在我们来研究一下为什么对于简单多面体都成立。

我们以正六面体（即正方体）为例，假设在正六面体中，有

在这里是一个未知数，我们的目标是证明是常数.

可以通过一些简单的变换证明多面体欧拉公式，具体操作如下：

3.1 去面

我们将正六面体进行“压缩”，使其变成上底面为小正方形的几何体。

注意到在这个过程中，并没有改变原来的顶点数、棱数、面数，因此仍有

这时再将其“拍扁”，使其成为一个二维图形。