自然数都有倒数是对的吗为什么错（漫谈自然数的倒数和）

自然数都有倒数是对的吗为什么错（漫谈自然数的倒数和）如果一个数一个数地往后硬算 会很麻烦是不是?那么怎么来解决这个问题呢?事实上 数学家的思维不是一个个地累加 而是用估计的方式来完成就行了:那么他能不能吃到的总和多于3块呢?好吧 我们来分析一下:达到两根还是容易呢!因为小明第一天就吃了一根了 第二天会有半根 第三天会有1/3根 第四天会有1/4根 你看这时他吃了多少?1 1/2 1/3 1/4=25/12 是不是大于2了?

漫谈自然数的倒数和

自然数的倒数和 从吃货开始:

1.小明爱吃火腿肠 假设每天他有一根火腿肠 第一天他独享一根火腿肠 但从第二天开始 以后的每天他都会多一个朋友和他分享 若每天按人数均分火腿肠请问他在以后的日子里 累计吃到的火腿肠会有10根之多吗?

到底能不能达到呢?乍一看是不行 因为小明平分到的火腿肠越来越少 最后趋近于0 怎么会达到10根呢?你觉得呢?是不是达到两根都悬?

好吧 我们来分析一下:

达到两根还是容易呢!因为小明第一天就吃了一根了 第二天会有半根 第三天会有1/3根 第四天会有1/4根 你看这时他吃了多少?

1 1/2 1/3 1/4=25/12 是不是大于2了?

那么他能不能吃到的总和多于3块呢?

如果一个数一个数地往后硬算 会很麻烦是不是?那么怎么来解决这个问题呢?事实上 数学家的思维不是一个个地累加 而是用估计的方式来完成就行了:

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 … 1/16=1 (1/2) (1/3 1/4) (1/5 1/6 1/7 1/8) (1/9 1/10 … 1/16)

>1 (1/2) (1/4)×2 (1/8)×4 (1/16)×8=3

也就是说 至多到第16天 小明累计吃到的火腿肠就会超过3根.

那么按此算法 小明累计吃到了10根火腿肠的天数就不难得出:

把原数列的和:

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …

其项数由结合律进行分组:1 1 2 4 8 16 … m 则必有

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …>1 m/2

要求1 M/2>10 只要m>18 即可 那就是说要达18个括号分组 那究竟至多是第几项呢?

这样来算:

=524 288

哇!50万项之后呢?实际上 也可以对2的19次方进行如下估计:

如果没有计算器的话 还是下面的估计快些.

注意 这里是至多哟 因为是估算 说不定前面的某项已经达到了呢.那么我们能不能找到一个办法精确地算出是第几项呢?

这个可是因难呢 可以说到目前为止 也没有很好的办法达到精确的估计 不过有我们可以对这个问题的一般情形 可以找到较为精确的估计:

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …

通过绘制y=ln(1 x)和y=x的图象 不难发现x>ln(1 x)

则有

S=1 1/2 1/3 … 1/n

>ln(1 1) ln(1 1/2) ln(1 1/3) ... ln(1 1/n)

=ln2 ln3/2 ln4/3 ... ln((n 1)/n)

=ln(2*3/2*4/4*...(n 1)/n)=ln(1 n)

实际上 还可以证明:

S=1 1/2 1/3 … 1/n<lnn 1

可以看出

ln(n 1)<1 1/2 1/3 … 1/n <lnn 1

那就是说1 1/2 1/3 … 1/n与lnn接近 两者会不会有差别 差别有多大呢?

Euler第一个证明 即使n充分大 两者也不会相等 会差着一个常数C 这个常数是

C=0.57721566490153286060651209......

吊诡的是 直到今天 人们还没有弄清这个Euler常数C是什么样的数?它是无理数还是有理数不清楚(一般倾向认为C是无理数) 更遑论代数数及超越数的判定了!

目前尚不知道欧拉常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10的242080次方.

上述问题被称为调和数列的求和 由此派生出来的Euler常数 在高等数学中甚有作用.

看下一个问题:

2.小红爱吃披萨饼 第一天她独享一只披萨 但以后每天来的人按天数的平方递增(即第n天来了n×n人) 若每天按人数均分披萨 问小红累计吃到的披萨会超过两只吗?

乍看一下 好象可以用调和数列求和的方法来解决小红的问题 果真是这样吗?

小红获得的蛋糕:

1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n) …> 1 [1/(2×2) 1/(3×3)] [1/(4×4) [1/(8×8)] …

我们立即发现 中括号内的项分母是不连续 无法象上面一样进行放缩估计 所以是行不通的!

实际上 我们尝试一下逐项计算:

记S(n)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n)

则有

S(1)=1 S(2)= 1 1/(2×2)=5/4=1.25 S(3)= 1 1/(2×2) 1/(3×3) =49/36≈1.36 S(4)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4)≈1.42

S(5)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) 1/(5×5)≈1.46

什么感觉 好象是越往后增加的越慢 是不是?这说明 这个数列的和可能是有界的!

事实果真如此:

S(n)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n)

<1 1/(1×2) 1/(2×3) 1/(3×4) … 1/[(n-1)×n]

=1 (1-1/2) (1/2-1/3) (1/3-1/4) … [1/(n-1)-1/n]

=2-1/n

显然 无论n如何 2-1/n总小于2 那么可以看出 按这样的分法 小红永远吃到的披萨都不会多于两块!

问题来了 既然这里的S(n)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n) 单调有界 那么它必有极限 它的极限是多少呢?

事实上 我们可以通过级数或二重积分证明 这个极限值是

猜一猜这个发现是谁最先给出的?

猜到了吗 就是上面提到的那人大名鼎鼎的Euler 真是神一样的Euler!

平方倒数求和最早出现于17世纪意大利数学家蒙哥利(Mengoli P 1626一1686）的《算术求和新法》（1650).

无穷级数

是书中所论形数倒数求和问题中的一个特殊情形。

在发表于19年的论文“具有有限和的无穷级数的算术命题”中，瑞士著名数学家雅各．伯努利(Jacob.Bernoulli，1654一1705）部分重复了蒙哥利的无穷级数工作，在论文最后，伯努利称，尽管级数

的求和问题易如反掌，但奇怪的是，ζ（2）的和却难以求出．他说:”如果有谁解决了这个迄今让我们束手无策的唯题，并告知我们，我们将十分感激他．”

实际上，当时欧洲的一流数学家，如约翰．伯努利(Bernoulli J 1667-1748）及其子丹尼尔．伯努利(Bernoulli D 1700-1782）、哥德巴赫（Goldbach C 1690-1764）、莱布尼茨（Leibniz G W，1646-1716）、棣莫佛（Moivre A De，1667-1754）、斯特林(Stirling J 1692-1770）等都未能成功解决这一难题，其中哥德巴赫在与丹尼尔的通信（1729）中给出和的上、下限1．644和1．645；斯特林在其《微分法》中给出近似值

1.644934066.

瑞士大数学家欧拉(Euler L，1707-1783〕最早于1735年解决了这个所谓的“巴塞尔难题”，这是他年轻时期最著名的成果之一．但证明不是很完善 及至后来二重积分及级数的发展 才最终完善了这个极限的证明.

由于π是超越数(林德曼定理) 故ζ(2)也是超越数.

再提一个问题:

3.小英爱吃蛋糕 第一天她独享一只蛋糕 但以后每天来的人按天数的立方递增(即第n天来了n×n×n人) 若每天按人数均分蛋糕 问小红累计吃到的披萨会超过一只吗?

乍看一下 这个问题也第二个问题相同 但有没有不同的的地方呢?

小英获得的蛋糕:

按上述第二种思路 证明数列:

单调有界没有问题 存在极限也是显然的 只是至今为止 我们并不知道这个极限的精确表达式 是不是与已知的超越数 比如π e 甚至C有关 现在统统不知道!

这个问题的解决 估计非常困难!