求方程不同实根的个数：求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数

求方程不同实根的个数：求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数3.在f0(x)的零点周围充分小的区域内，f1(x)总是大于零或小于零的。2.在一个斯图谟函数的一个零点上，相邻两个函数异号。II．方程在该区间上还有多重实根。斯图谟函数具有下列三个特性：1.在区间上任何点上两个相邻的函数不同时为零。

求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数。

1829 年，法国数学家 C·斯图谟（Charles Sturm，1803 – 1855 年）用令人意想不到的简单方法解出了这个非常重要的代数问题。

“由于这一巨大的发现，”刘维尔说，“斯图谟立即简化并且完整了代数的原理，用新的解法充实了它们。”

解：区别两种情况： I．在已知区间上所求方程的实根全为单根。

II．方程在该区间上还有多重实根。

斯图谟函数具有下列三个特性：

1.在区间上任何点上两个相邻的函数不同时为零。

2.在一个斯图谟函数的一个零点上，相邻两个函数异号。

3.在f0(x)的零点周围充分小的区域内，f1(x)总是大于零或小于零的。

1的证明：例如，如果f2与f3在一区间上的任一点处等于零，根据（2）在该点f4也等于零，因此根据（5），f5也等于零，等等。所以根据运算的最后一行可知最终的fs也等于零，而这跟我们的假定是相矛盾的。

2的证明：例如，如果f3在区间上的σ点处等于零，则由（2）得

f2(σ) = – f4(σ)。

3的证明：此证明要用到已知的定理：函数f0(x)在一点的增或件，取决于其导数f1(x)在该点是大于零或者小于零。

于是选择区间上的任一点x，记下f0(x)，f1(x)，…，fs(x)等值的符号，得到斯图谟符号链

（然而，为了使符号明白无误，必须假定给定的s 1 个函数中没有一个函数值为零）。该符号链包含连号（ 与– –）以及变号（ –与– ）。

考察符号链中变号次数Z(x)，以及当x通过该区间时Z(x)经历的变化。只有当斯图谟函数中一个或者几个改变符号时才会发生变化，也就是说，从负（正）数值经过零而到达正（负） 数值时。我们将相应地研究函数fv(x)经过零时对Z(x)所产生的影响。

设k为fv等于零的一点，h和l为位于k点左侧和右侧的点，且如此逼近于k使在区间h到l上以下情况情况成立：（1）fv的每一个邻域(fv 1 fv–1)不改变符号。必须区别v > 0 与v = 0 的情况；在第一种情况下，我们关心的是三个一组的值fv–1，fv，fv 1；在第二种情况下，是一对值f0， f1。

在三个一组值中，在所有三个点h，k，l上，fv–1与fv 1的符号不是 与–，就是–与 。因此， 不论fv在这些点上的符号可能是什么，对于三个自变量h，k，l中的每一个而言，三个一组的值中有一个改变符号。函数fv通过零并不改变链中变号的次数。

在一对值中，在所有三点h，k，l上f1的符号为 或–。在第一种情况下f0为增函数，因此

在h为负值而在l为正值；在第二种情况下f0为减函数，因此在点h为正，在点l为负。在两种情况下都少一个变号。

通过验证可知：只有当 x 通过 f(x)的零点时，斯图谟符号链在变号数 Z(x)上才经历一个变化；而且特殊的是当 x 增加时该符号链恰恰失去一个变号。因此，如果 x 从左到右通过一个两端点不代表 f(x) = 0 的根的区间，符号链失去变号的个数正好等于 f(x)在该区间上零点的个数。因此有：斯图谟定理：一个实系数代数方程其根在区间上都为单根，该区间的两端点均不为根， 则实根数就等于在区间两端点上斯图谟符号链的变号数之茶。