对数函数与指数函数交点个数：同底的指数函数与对数函数的交点问题

对数函数与指数函数交点个数：同底的指数函数与对数函数的交点问题（二）判断函数y=（1/3)^x与函数y=log(1/3)(x)的交点个数 此时思考：在a>1的情况下，y=a^x和y=x之间是永远相离，还是可以相切，或是相交？ 对于函数y=3^x 其定义域为全体实数，值域为(0 ∞)。由于底数a=3 a>1 所以函数在定义域区间上为单调增函数。 对于函数y=log3(x) 其定义域为(0 ∞)，值域为全体实数。由于底数a=3 a>1 所以函数在定义域区间上为单调增函数。二者在同一坐标系的图像如下图： 由于函数y=log3(x)和函数y=3^x互为反函数，即关于直线y=x对称。从图像容易知道y=3^x和y=x没有交点，所以根据对称性质，y=log3(x)与对称轴y=x也没有交点，即此时函数y=3^x与函数y=log3(x)的交点个数为0.

本文主要内容：讨论底a>1与0<a<1两种情况下函数的交点个数问题。

一、实例分析

（一）判断函数y=3^x与函数y=log3(x)的交点个数

对于函数y=3^x 其定义域为全体实数，值域为(0 ∞)。由于底数a=3 a>1 所以函数在定义域区间上为单调增函数。

对于函数y=log3(x) 其定义域为(0 ∞)，值域为全体实数。由于底数a=3 a>1 所以函数在定义域区间上为单调增函数。二者在同一坐标系的图像如下图：

由于函数y=log3(x)和函数y=3^x互为反函数，即关于直线y=x对称。从图像容易知道y=3^x和y=x没有交点，所以根据对称性质，y=log3(x)与对称轴y=x也没有交点，即此时函数y=3^x与函数y=log3(x)的交点个数为0.

此时思考：在a>1的情况下，y=a^x和y=x之间是永远相离，还是可以相切，或是相交？

（二）判断函数y=（1/3)^x与函数y=log(1/3)(x)的交点个数

对于函数y=(1/3)^x 其定义域为全体实数，值域为(0 ∞)。由于底数a=1/3 0<a<1 所以函数在定义域区间上为单调减函数。

对于函数y=log(1/3)(x) 其定义域为(0 ∞)，值域为全体实数。由于底数a=1/3 0<a<1 所以函数在定义域区间上为单调减函数。二者在同一坐标系的图像如下图：

由于函数y=log(1/3)(x)和函数y=(1/3)^x互为反函数，即关于直线y=x对称。从图像容易知道y=(1/3)^x和y=x有一个交点，所以根据对称性质，y=log(1/3)(x)与对称轴y=x同时交于此交点，即此时函数y=(1/3)^x与函数y=log(1/3)(x)的交点个数为1.

此时思考：在0<a<1的情况下，本例出现的交点是1个，但不是切点，是否还存在只有1个交点且是切点等其他情况。

二、结论归纳

（一）函数y=a^x与函数y=loga(x)(a>1)的交点个数

对于函数y=a^x 其定义域为全体实数，值域为(0 ∞)。由于底数a>1 所以函数在定义域区间上为单调增函数。

对于函数y=loga(x) 其定义域为(0 ∞)，值域为全体实数。由于底数a>1 所以函数在定义域区间上为单调增函数。

下面讨论二者相切的情形。

函数y=loga(x)和函数y=a^x相切，则必定切点在对称轴y=x上，即y=x是此时二者的切线，故切线的斜率k=1，亦即在切点处的导数y＇=1.

对y=a^x求导，得到y＇=a^x*lna=1

即：a^x=1/lna=lne/lna=loga(e)①.

由于切点在y=x上，则与y=a^x联立方程有：

a^x=x②

方程①代入方程②得到：

a^x=x=loga(e)③

即：

a^[loga(e)]=x=logae

e=logae

则a=e^(1/e) 回代入③，得：

x=log[e^(1/e)](e)

x=lne/ln[e^(1/e)] 使用换底公式得到。

x=1/(1/e)=e.

即函数y=loga(x)和函数y=a^x，当a=e^(1/e)时，二者相切，切点为（e，e），此时图像大致如下：

根据以上情况，则对a与a=e^(1/e)的大小讨论如下：

（1）当1<a<e^(1/e)的时候，函数y=loga(x)和函数y=a^x二者是相交关系，即有两个交点。

（2）当a=e^(1/e)的时候，函数y=loga(x)和函数y=a^x二者是相切关系，即有一个交点。

（3）当a>e^(1/e)的时候，函数y=loga(x)和函数y=a^x二者是相离关系，即此时没有交点。本题所列判断函数y=3^x与函数y=log3(x)的交点个数的例子，属于此情况。

（二）函数y=a^x与函数y=loga(x)(0<a<1)的交点个数

对于函数y=a^x 其定义域为全体实数，值域为(0 ∞)。由于底数0<a<1 所以函数在定义域区间上为单调减函数。

对于函数y=loga(x) 其定义域为(0 ∞)，值域为全体实数。由于底数0<a<1 所以函数在定义域区间上为单调减函数。

下面讨论二者相切的情形。

函数y=loga(x)和函数y=a^x相切，则必定切点在对称轴y=x上，即y=x是此时二者切线的法线，故切线的斜率k=-1，亦即在切点处的导数y＇=-1.

对y=a^x求导，得到y＇=a^x*lna=-1 即：

a^x=-1/lna=-lne/lna=-loga(e)①.

由于切点在y=x上，则与y=a^x联立方程有：

a^x=x②

方程①代入方程②得到：

a^x=x=-loga(e)③

即：

a^[-loga(e)]=x=-loga(e)

a^[loga(1/e)]=loga(1/e)

1/e=loga(1/e)

得：a=(1/e)^e 进一步代入③，得：

x= -log[(1/e)^e](e)

x=-lne/ln[(1/e)^e]

x=-1/[eln(1/e)]

x=-1/[e*(-lne)]

x=-1/(-e)

x=1/e

即函数y=loga(x)和函数y=a^x，当a=(1/e)^e时，二者相切，切点为（1/e，1/e），此时图像大致如下：

根据以上情况，则对a与a=(1/e)^e的大小讨论如下：

（1）当0<a<(1/e)^e的时候，函数y=loga(x)和函数y=a^x二者在y=x两边各有1个交点，此时共有2个交点。

（2）当(1/e)^e<a<1的时候，函数y=loga(x)和函数y=a^x相交或相切，此时有1个交点。上述相切，以及前面列举的实例，均属于此种情况。

三、细节说明

（一）对于a的取值，在a>1的时候，y=a^x和y=loga(x)随着a的增大而不断远离y=x。

（二）函数y=a^x和y=loga(x)有交点时，当只有一个交点，既可以是一般的交点，也可以是切点。

（三）函数y=a^x和y=loga(x)若有切点，则必定在直线y=x上，因为切点有且只有一个，若不在y=x上，则根据对称必定有两个，即出现矛盾。